Capítulo 4. La razón entre las figuras del círculo y el cuadrado

Una vez halladas las dos figuras, y con independencia de las dimensiones del folio, pues como hemos visto el trazado que proponemos es un cálculo proporcional que arroja el mismo resultado, con y sin márgenes, el cociente entre las longitudes del radio del círculo y el lado del cuadrado al que llegamos es:

Como era de esperar, es un cociente superior al obtenido con el método basado en la sección áurea y algo menor que el correspondiente a una proporción de 5/3, aunque mucho más próximo a ésta última. En la siguiente tabla se muestran las aproximaciones de las razones de la sección áurea y de la proporción de 5/3 al cociente que se desprende de la relación entre las figuras del círculo y el cuadrado según el trazado basado en las proporciones del folio (Tabla 4). 

 

Tabla 4. Aproximaciones del cociente obtenido con el trazado basado en las proporciones del folio a las razones de la sección áurea y de la proporción de 5/3.

 

Esta pequeña diferencia podría parecer insignificante, pero no lo es en absoluto. Pasar de un coeficiente de precisión del 98,30% a uno del 98,74% es la diferencia que supone lograr trazar el círculo en el que se inscribe el hombre del canon con absoluta precisión. Llegados a este punto hagamos una recapitulación de los movimientos realizados para dibujar las figuras del círculo y el cuadrado. El trazado propuesto se basa en tres operaciones: el establecimiento del “cuadrado rector” a partir de las proporciones del folio, la obtención del centro del cuadrado y la longitud de sus lados a partir de éste y, por último, la determinación del centro del círculo y la medida del radio a partir de los dos cuadrados anteriores. Sobre las dos primeras operaciones, que son las que nos permiten dibujar el cuadrado que es igual a la altura del hombre del canon, todo indica que son correctas, como atestiguan las correspondencias con las proporciones del folio y el segmento guía dibujado por Leonardo sobre la figura del hombre del canon, a la altura de los hombros, que coincide con el lado superior del “cuadrado rector”.

Es la determinación del centro del círculo y de la medida del radio el movimiento que admite varias aproximaciones como hemos visto: la basada en la sección áurea, la propuesta en este trabajo y una tercera, aún por describir, que debería arrojar exactamente una razón de 5/3 entre las longitudes del lado del cuadrado y el radio del círculo. Pero entonces, ¿cuál fue el método que empleó Leonardo? Lo más razonable es cotejar el grado de error de cada uno para comparar los resultados con las medidas del folio. En la Tabla 5 se muestran las longitudes del radio del círculo para las tres posibles soluciones junto al grado de aproximación de cada una de ellas al círculo dibujado por Leonardo.

 

Tabla 5. Aproximaciones a las longitudes del círculo y la medida del radio según las tres posibles soluciones del trazado.

 

Aunque los tres métodos son muy aproximados, la razón que más se acerca a la longitud del radio del círculo, según podemos comprobar en la imagen digital del folio, es la que se desprende del trazado propuesto (1,65), y ésta es más cercana a una proporción de 5/3 (1,67), que a la razón de la sección áurea (1,62) que, como hemos visto, es la que presenta la mayor desviación respecto al círculo dibujado por Leonardo. Veamos ahora las evidencias que se desprenden del trazado basado en las proporciones del folio y del sistema fraccionario descrito por Vitruvio que apuntan en la dirección de que se trata de una razón que tiende a una proporción de 5/3.

Para comenzar, el modelo propuesto parte de la anchura del área de trazado para hallar la longitud del lado del cuadrado aplicando una razón de ¾. Es un método extremadamente adecuado dado el sistema de particiones del canon descrito por Vitruvio, pues al basarse en el 4 y el 6 y, ampliado a sus factores primos, también en el 2 y el 3, es una razón que aparece de forma natural. Por otro lado, en la Figura 31 se puede ver que la cuadrícula de 24 palmas se ajusta perfectamente al “cuadrado rector” del folio de partida y también a las divisiones realizadas sobre la figura del hombre del canon cuya altura es, tal y como indica la regla dibujada por Leonardo, de 4 codos de 6 palmas cada uno (Figura 33).

 

Fig. 33. Correspondencias del “cuadrado rector” y las divisiones realizadas por Leonardo sobre la figura del hombre del canon con la cuadrícula de 24 x 24 palmas a 4, 6, 12, 20 y 24 de estas unidades metrológicas [1].

 

Continuando con el análisis del trazado, el método basado en las proporciones del folio y, por lo tanto, en un rectángulo igual a la raíz cuadrada de 2, reafirma el hecho que la razón entre las figuras del círculo y el cuadrado sea más bien una proporción de 5/3, en detrimento de la sección áurea, pues se trata de la misma proporción que aparece en los rectángulos que se forman en la intersección entre el cuadrado en el que se inscribe el hombre del canon y el “cuadrado rector” del folio de partida (Figuras 34 y 35).

 

Fig. 34. Rectángulo con una proporción de 5/3 que se forma en la intersección entre el cuadrado que es igual a la altura del hombre del canon y el “cuadrado rector” del folio de partida. Fig. 35. Rectángulo equivalente con una proporción de 6/5.

 

En la Figura 33, el lado mayor del rectángulo es igual al lado del cuadrado, por lo que el lado menor mide 240,00 mm – (180,00 mm/2) = 150,00 mm. Este rectángulo de 150,00 x 180,00 mm tiene una proporción de 6/5, equivalente a una de 5/3 (Figura 32), solo que en lugar de indicar la razón entre el lado del cuadrado y el radio del círculo es respecto al diámetro del mismo. En este rectángulo el lado menor es al mayor como el lado del cuadrado al diámetro del círculo en los que se inscribe el hombre del canon, una razón de (1+√2)/2. Es importante subrayar que en la determinación del cuadrado en función del área de trazado se encuentra implícita la relación que éste deberá tener a su vez con el diámetro del círculo. Se trata de la razón subyacente al modelo de trazado en donde se conjugan continente y contenido como consecuencia de una estudiada planificación geométrica.

Como hemos indicado, estos rectángulos de proporciones 5/3 y 6/5 son coherentes con el sistema métrico empleado por Leonardo, basado en una cuadrícula de 24x24 palmas según el canon de Vitruvio. Si consideramos una cuadrícula equivalente de 6 x 6 pies (de 4 palmas cada uno), tal y como indican las divisiones en la regla, y el “cuadrado rector” del folio de partida se forma un rectángulo de 3x5 pies. En este rectángulo el lado menor es la mitad de la longitud del lado del cuadrado (3 pies = 90,00 mm) y el lado mayor la longitud del mismo hasta el lado superior del “cuadrado rector”, donde señalan los dedos del hombre del canon (5 pies = 150,00 mm) [2].

 

Fig. 36. Cuadrícula de 6 x 6 pies y rectángulo de 90,00 x 150,00 mm con una proporción de 5/3 (de color amarillo) [3].

 

Otro aspecto métrico destacado, como ya han advertido otros investigadores, entre ellos Carlos Piera y Luis Castaño, aunque emplean otros métodos que nos son los que hemos utilizado en este trabajo para el trazado de las figuras del círculo y el cuadrado a partir de las proporciones del folio, es que de los múltiplos de la cuadrícula de 24 palmas y derivadas se desprenden varias posibles soluciones a la relación entre ambas figuras, de modo que se pueden determinar con un alto grado de aproximación los centros y las longitudes de las figuras del círculo y el cuadrado de modo que solo tengamos que emplear el compás para trazar la circunferencia [4]. Así por ejemplo, si en lugar de la cuadrícula de 24 palmas empleamos una de 48 medias palmas (7,5 mm/2 = 3,75 mm) el centro del cuadrado se sitúa a 24 de estas unidades (24 x 3,75 mm = 90,00 mm) y el centro del círculo a 29 (29 x 3,75 mm = 108,75 mm); por lo que el cociente entre las longitudes de los lados del cuadrado y del diámetro del círculo es de 24/29 = 0,828. Este cociente multiplicado por 2 es 1,655…, prácticamente la misma razón a la que hemos llegado con el trazado basado en las proporciones del folio. En este sentido, hay otras propuestas para este cálculo de las que se desprenden cocientes similares y muy próximos (Figura 37).

 

Fig. 37. Posición del sacro/coxis y el ombligo correspondientes a los centros del cuadrado (24 unidades) y del círculo (29 unidades) en función de una cuadrícula de 48 x 48 unidades de 3,75 mm (1/10 de media palma) [5].

 

La diferencia entre la posición del ombligo y la del sacro es, casualmente, de 5 medias palmas o, lo que es lo mismo, de 10 dedos (10 x 1,875 mm = 18,75 mm), es decir, 10 veces la unidad mínima del sistema métrico basado en el canon descrito por Vitruvio. De todas formas, este método basado en una cuadrícula de 48 medias palmas, aunque se ajusta a la perfección a la métrica vitruviana, es más bien teórico, pues es necesario dibujar con mucha precisión todas y cada una de las divisiones, lo que repercute en la posibilidad de cometer errores. Así pues, el trazado propuesto no solo es coherente con el formato de un rectángulo igual a la raíz cuadrada de 2 de la cuartilla, sino también con la proporción de 5/3 y con el sistema métrico indicado por la regla dibujada por Leonardo.

En la Tabla 6 se muestran las aproximaciones a la medida ponderada del radio, según la imagen digital del folio (109,18 mm), de la longitud del radio si consideramos que su relación con el cuadrado es una proporción de 5/3 o bien el cociente que se desprende de los métodos que tienden a esta razón, esto es, según el trazado propuesto y el canon métrico de una cuadrícula de 48 x 48 medias palmas.

 

Tabla 6. Aproximaciones a la medida del radio en el folio a partir de los métodos que tienden a la proporción de 5/3, el basado en una cuadrícula de 48 “medias palmas” y según el trazado propuesto en este trabajo.

 

A pesar de que los tres métodos arrojan un resultado casi idéntico, el cociente obtenido con el trazado propuesto sigue siendo el que más se aproxima a la medida ponderada del radio del círculo dibujado por Leonardo [6]. Las diferencias son del mismo orden de error que tenemos en la determinación de las medidas a partir de la imagen digital del folio, por lo que no podemos distinguir cuál es realmente el método que empleó Leonardo. No olvidemos que analizamos el trazado con la ayuda de un ordenador, lo que nos permite realizar cálculos que contemplan una infinidad de decimales, sin embargo, y en el mundo real, ir más allá de un milímetro por metro es algo complicado, por no decir que imposible. También hay que recordar que medimos el folio y las figuras con un sistema métrico mucho más preciso que el que pudo utilizar Leonardo en el siglo xv. Invitamos a los lectores más atrevidos a que cojan un folio y regla y compás en mano ejecuten el trazado. Podrán comprobar que lograr la precisión que alcanzó Leonardo no es tan fácil como parece.

Sumados todos estos factores, el grado del error que manejamos explicaría la minúscula desviación que dificulta la tarea de discernir si se trata exactamente de una proporción de 5/3, de la cual se obtiene un círculo cuyo radio debería medir 108,00 mm, o el cociente que se desprende del trazado basado en el formato del folio, con el que llegamos a un radio de 109,37 mm; aunque éste último es mucho más próximo al que se observa en la imagen digital del folio. En la Figura 38 se puede apreciar la diferencia que hay entre los dos métodos, que prácticamente se corresponde con los bordes internos y externos de las figuras dibujadas por Leonardo.

 

Fig. 38. De color rojo el círculo obtenido con el trazado propuesto (109,37 mm) y de color amarillo el obtenido a partir de una proporción de 5/3 (108,00 mm).

 

Así pues, y aunque no podemos obtener la precisión necesaria para saber si la razón entre las figuras del círculo y el cuadrado es una proporción de 5/3 o bien la que se desprende del trazado basado en las proporciones del folio, que es prácticamente la misma que se puede obtener a partir de una cuadrícula de 24 palmas, de lo que no cabe duda es que las dos soluciones, que difieren en apenas unas décimas de milímetro, no solo se ajustan con gran precisión al trazado del hombre del canon, sino que responden a un modelo cuyas claves se encuentran en el formato del folio de partida.

Ante los resultados del análisis geométrico de las figuras del círculo y el cuadrado en función de las proporciones del folio, nos encontramos con lo que se conoce como el «problema de la medida», según el cual hay que tener en cuenta los errores derivados de la misma operación de medir un objeto. En este caso, las dimensiones del folio son razonables y podemos llegar a una buena aproximación a su tamaño real. De cualquier forma, y a pesar de todos los factores que intervienen en la ejecución del trazado, la representación de Leonardo es tremendamente precisa. Las ligeras desviaciones que se observan son de un orden de magnitud tan pequeño que medidas tomadas de forma independiente por Luis Castaño, Martin J. Kemp y nosotros mismos apenas difieren en una milésima de metro o, lo que es lo mismo, son del mismo orden de magnitud que el grosor de la pluma empleada por Leonardo. Por otro lado, este estudio también pone de manifiesto la dificultad que entraña el análisis geométrico en cuanto al “problema de los números cercanos”. Los cocientes resultantes de las posibles soluciones al trazado de las figuras del círculo y el cuadrado son tan próximos que esto nos impide distinguir si la razón entre las dos figuras es de 5/3 o de 48/29, siendo las dos soluciones, además, coherentes con el formato del folio y con el sistema métrico empleado por Leonardo.

 

© Rafael Fuster Ruiz y Jordi Aguadé Torrell

 


 

[1], [2] y [3] Para más información sobre los orígenes y las medidas de la cuadrícula de 24 palmas del canon antropométrico de Vitruvio según Leonardo da Vinci se pueden consultar los trabajos de Luis Castaño Sánchez, op. cit., Metrología Histórica: Una nueva propuesta, p. 36 Figura 10, p. 12, Figura 12, op. cit., La cuestión del centro de la figura humana a partir del Homo Bene Figuratus de Vitruvio y op. cit., Estudio sobre el Hombre de Vitruvio de Leonardo da Vinci, y también de Manuel Franco Taboada, op. cit., La cuestión del centro de la figura humana a partir del Homo Bene Figuratus de Vitruvio.  

[4] Destacar la lógica subyacente en el trazado de las figuras del círculo y el cuadrado en función del formato de la cuartilla. El orden que rige las proporciones del hombre del canon respecto a las figuras del círculo y el cuadrado es el mismo que hay entre éstas y las dimensiones del folio; pero también es el que se infiere del sistema métrico del canon vitruviano según el cual la altura del hombre del canon es de 6 pies de 4 palmas cada uno.

[5] Carlos M. Piera, op. cit., Leonardo da Vinci y la cuadratura humana, Madrid, 2002 y Luis Castaño Sánchez, op. cit., Metrología Histórica: Una nueva propuesta, pp.5-10, pp. 35-36 (Figuras 8, 9, 10 11 y 12 Figura 12), op. cit., La cuestión del centro de la figura humana a partir del Homo Bene Figuratus de Vitruvio, pp. 7-9, y op. cit., Estudio sobre el Hombre de Vitruvio de Leonardo da Vinci, p. 9. (Figuras 16 y 17).

[6] De hecho, hemos llegado a cuatro soluciones cuya desviación es del orden de un milímetro por metro. La diferencia en la medida del radio del círculo según los valores máximos y mínimos, de las razones de la sección áurea y de una proporción de 5/3, es de 3,25 mm. Si restamos el milímetro correspondiente al grado de error del modelo, se queda en 2,25 mm, que repartidos a derecha e izquierda de las figuras supone una desviación de 1,13 mm; y esto considerando la razón de la sección áurea, que la que más se desvía. Si tomamos los valores del trazado propuesto para la relación entre las dos figuras y el de una proporción de 5/3, que es el máximo, la diferencia es tan solo de 1,37 mm. Si restamos el grado de error, la desviación queda en 0,37 mm, por debajo de la milésima por metro, por lo que resulta prácticamente imposible distinguir una razón de otra.