Capítulo 3. Determinación del círculo en función del cuadrado y el área de trazado

Una vez dibujado el cuadrado, veamos cómo hallar el centro y la medida del radio del círculo en el que se inscribe el hombre del canon con los brazos y las piernas extendidos en forma de “X”. De esta operación se ha de inferir la razón de la relación entre las dos figuras, que es un aspecto fundamental para profundizar en la dimensión geométrica de la composición. Según una teoría muy extendida Leonardo obtuvo el centro del círculo, donde se sitúa el ombligo, en función de la sección áurea del lado del cuadrado que es igual a su altura (Figura 24).

 

Fig. 24. Posición del ombligo del hombre del canon en función de la sección áurea del lado del cuadrado que es igual a su altura (ab/bc = bc/ca = 1,618…).

 

Se ha escrito mucho sobre la presencia de la sección áurea en el trazado. El debate entre partidarios y detractores sigue abierto. Quienes no están de acuerdo argumentan que el resultado no es del todo exacto y, además, Leonardo no menciona nada al respecto en las anotaciones que escribió en el folio, que sí se refieren, por el contrario, al sistema de fracciones del canon que describe Vitruvio en su tratado [1]. En parte estamos de acuerdo con este último razonamiento. Es evidente que las notas referidas al canon vitruviano tienen su importancia, pero eso no quiere decir que contemplen todos los aspectos que están presentes en el trazado, como sucede con la hipótesis sobre el papel que juegan las proporciones del folio en la composición. Toda obra de arte se rige por un orden interno que no siempre es visible a primera vista ni queda recogido en los escritos; es parte del secreto del artista, ámbito exclusivo del creador. Es más interesante y enriquecedor para los destinatarios de las obras de arte no ser simples espectadores pasivos y adoptar una actitud participativa, lo que supone un esfuerzo para desentrañar los mensajes que nos transmiten de forma velada. Por otro lado, en cuanto a la falta de precisión del trazado basado en la sección áurea, efectivamente, el punto indicado, aunque muy aproximado, se sitúa 2,00 mm por encima de la posición del ombligo [2] (Figura 25).

 

Fig. 25. Detalle de la posición del ombligo y punto señalado por la sección áurea del lado del cuadrado que es igual a su altura.

 

Según la sección áurea, el centro del ombligo tendría que estar a 111,25 mm de la base del cuadrado, que es la medida del radio del círculo en el que se inscribe el hombre del canon con los brazos y las piernas extendidos; mientras que según la imagen digital del folio, el radio mide 109,18 mm (± 0,28 mm). Esta diferencia podría parecer que está dentro del margen de error esperado, sin embargo, si en lugar de fijarnos en la longitud del radio tomamos el diámetro tenemos que, en el caso de la sección áurea, tendría que medir 222,50 mm, cuando en la imagen digital del folio es de 218,36 mm (± 0,56 mm); una desviación que se multiplica hasta alcanzar los 4,14 mm, demasiado considerable para que sea debida a un error de Leonardo en la ejecución del trazado, pues el cuadrado queda prácticamente inscrito en el círculo (Figura 26).

 

Fig. 26. De color blanco el círculo obtenido en función de la sección áurea del lado del cuadrado que es igual a la altura del hombre del canon, y cuyo radio mide 180,00 mm/1,618 = 111,25 mm.

 

Ante esta evidencia, no creemos que la determinación del círculo en el que se inscribe el hombre del canon se obtenga mediante la sección áurea y, por lo tanto, que el cociente entre las figuras del círculo y el cuadrado sea exactamente el Número de Oro, aunque se aproxime mucho. El llamado Número de Dios se refiere en algunos contextos al Número de Oro, esto es, la solución positiva de la ecuación (1+√5)/2 = 1,618…; pero en otros a una proporción de 5/3 = 1,667. Depende de la precisión que quiera ser aplicada o pueda ser alcanzada. La diferencia entre los dos cocientes es del orden de la milésima de metro, inapreciable y completamente despreciable en la gran mayoría de las ocasiones, como sucede con las medidas de una persona, las proporciones de un altar, un pórtico o una catedral. Ahora bien, desde una perspectiva estrictamente geométrica es posible distinguir entre las dos razones. El rigor del cálculo nos debe permitir alcanzar la precisión que es necesaria. En la representación del Hombre de Vitruvio de Leonardo, si contemplamos en los cálculos hasta el segundo decimal, nos encontramos con una discrepancia que es más importante de lo que parece a primera vista, pues afecta a la relación entre las figuras del círculo y el cuadrado como se puede apreciar en la imagen anterior (Figura 26).

Si la obtención del círculo no es una operación geométrica basada en el Número de Oro debe tratarse de una proporción de 5/3 y, por lo tanto, tiene que haber otra forma de determinar la posición del centro del círculo y la medida de su radio. De entre todas las propuestas conocidas hay una que destaca por su simplicidad y precisión. El trazado del círculo se obtiene con una rotación de 45º del cuadrado en el que se inscribe el hombre del canon. Su diámetro es la distancia de la base del cuadrado al vértice superior del cuadrado rotado (ab) (Figura 27).

 

Fig. 27. Determinación del círculo a partir de la rotación 45º del cuadrado que es igual a la altura del hombre del canon.

 

Efectivamente, la razón entre las figuras del círculo y el cuadrado con este método se acerca más a una proporción de 5/3 que al cociente de la sección áurea:

Con este método es posible trazar el círculo a partir del cuadrado de forma mucho más exacta que con el método basado en la sección áurea. Si consideramos que los lados del cuadrado miden 180,00 mm, el diámetro del círculo obtenido es de 108,70 mm. Según la imagen digital del folio su medida ponderada es 109,18 mm, una diferencia de solo 0,48 mm. Una excelente aproximación, con la ventaja de ser una propuesta sencilla que facilita el trazado del círculo.

 

Fig. 28. Detalle de la determinación del círculo a partir de la rotación de 45º del cuadrado en el que se inscribe el hombre del canon.

 

De todas las propuestas de trazado de las figuras del círculo y el cuadrado, ésta es la que nos parece más elegante por su sencillez, aunque el resultado es que el radio del círculo es algo menor que el del círculo dibujado por Leonardo. Con el trazado basado en las proporciones del folio podemos determinar el centro del círculo con mayor precisión, sin abandonar el área de trazado, y no solo en función del cuadrado sino también, y esto es lo más importante, del “cuadrado rector” indicado por un rectángulo que es igual a la raíz cuadrada de 2.

Para ello basta con situar el centro del compás en el punto donde el lado del cuadrado corta la línea que divide el “cuadrado rector” en dos partes (A) y, con una abertura hasta el lado superior del mismo (B), trazar un arco. Repetimos la operación con el lado opuesto del cuadrado. La intersección de sendos arcos (O) es el centro del círculo donde se ha de ubicar el ombligo. La medida del radio queda determinada en este mismo movimiento: es la longitud que va del punto de intersección hallado (O) al lado inferior del cuadrado (C), donde es tangente a la circunferencia obtenida (Figuras 29 y 30).

 

Fig. 29. Determinación del centro del círculo (O). Fig. 30. Longitud del radio del círculo (OC).

 

Es un movimiento sencillo, dentro de los márgenes del área de trazado, que aprovecha los puntos hallados en el paso anterior, allí donde el cuadrado en el que se inscribe el hombre del canon intersecta con la mitad (A) y el lado superior del “cuadrado rector” determinado por las proporciones del folio (B).

Una vez hallada la forma de trazar el círculo hemos comparado la medida del radio que obtenemos con la imagen digital del folio. Como sucede con el cuadrado, el círculo que dibujó Leonardo no es perfecto. Necesitó al menos dos movimientos con el compás. Se aprecian los puntos donde comienzan y acaban los dos semicírculos. Es por esta razón que hemos optado por considerar un valor ponderado, contemplando las longitudes de los semicírculos de los ejes de las abscisas y las ordenadas y de otros cuatro escogidos aleatoriamente (Tabla 2).

 

Eje

Valor 1

Valor 2 (aleatorio)

Valor 3 (aleatorio)

Media

X

109,44 mm

109,31 mm

109,00 mm

109,25 mm

Y

109,17 mm

109,26 mm

108,90 mm

109,11 mm

Media

109,31 mm

109,29 mm

108,95 mm

109,18 mm

 

Tabla 2. Longitudes de los radios de los semicírculos en la imagen digital del folio considerando una regla que mide 180,00 mm y valores ponderados.

 

El radio del círculo mide entre 108,95 y 109,44 mm, es decir, una diferencia en torno al medio milímetro (0,49 mm). La medida ponderada es, por tanto, de 109,18 mm (± 0,25 mm). Con el trazado llegamos a un radio de 109,37 mm (ver Anexo I), una desviación de apenas dos décimas de milímetro que es del mismo orden que el grosor de la pluma que empleó Leonardo. Si el trazado del círculo a partir del cuadrado y los puntos indicados por la intersección con el “cuadrado rector” no es el que concibió resulta sorprendente haber dado con una solución mediante la cual alcanzamos la misma precisión que logró el artista italiano con su trazado. Puede que hayamos encontrado una solución alternativa o un método equivalente a partir del cual se pueden extraer conclusiones interesantes sobre la articulación geométrica de la composición del canon vitruviano en función de las proporciones de la cuartilla.

El resultado del trazado se puede ver en la siguiente imagen. Destacado de color rojo el marco del área de trazado (240,00 x 340,00 mm) y los puntos de marcaje a partir de los cuales se puede trazar el círculo en función del “cuadrado rector” y el cuadrado en el que se inscribe el hombre del canon. Al contemplar los márgenes, el resultado supone una aproximación de un 99,82%, por debajo de la décima de milímetro, por lo que no hemos tenido que dibujar las figuras del círculo y el cuadrado ya que son prácticamente iguales a las dibujadas por Leonardo (Figura 31).


Fig. 31. De color rojo las líneas de apoyo del cuadrado en el que se inscribe el hombre del canon y del “cuadrado rector” del folio de partida que permiten trazar los arcos que determinan la figura del círculo.

 

La diferencia entre el trazado propuesto en este trabajo y el basado en la sección áurea es que para hallar el centro del círculo no solo partimos de la longitud del lado del cuadrado en el que se inscribe el hombre del canon, sino también de los puntos indicados por las proporciones del folio, por lo que tanto su ubicación como la medida del radio se encuentran en función de dos factores en lugar de solo uno. Esto tiene la ventaja de aumentar la precisión del trazado al contar con puntos de referencia previamente determinados, aunque también el inconveniente de que en caso de cometer algún error se multiplique por dos. A pesar de ello, y como se puede ver en la siguiente imagen, el método es bastante más preciso que el basado en la sección áurea (Figura 32).

 

Fig. 32. Detalle de la aproximación a los centros de las figuras del círculo y el cuadrado del trazado basado en las proporciones del folio según el marcaje en función del “cuadrado rector”.

 

La ubicación del ombligo queda establecida milimétricamente y el círculo, a diferencia del obtenido con la sección áurea, se corresponde con el dibujado por Leonardo con una precisión difícil de superar a nivel práctico, pues supondría trazar un círculo cuyo margen de error estuviese por debajo de la décima de milímetro.

Otro aspecto destacado del trazado basado en las proporciones del folio es que las dos figuras se encuentran implícitas en el primer paso, al trazar las diagonales del “cuadrado rector” para dibujar el cuadrado que es igual a la altura del hombre del canon, lo que refuerza la hipótesis de que se trata de un diseño concebido a partir de las proporciones del folio. El trazado se desarrolla al modo de las progresiones geométricas, en las cuales la razón de un término a otro de la serie viene determinada en función del número inmediatamente anterior. De esta manera, Leonardo habría establecido un orden que le permitió dibujar con enorme precisión, encadenando uno tras otro los movimientos de regla y compás, las figuras del círculo y el cuadrado apoyándose en las proporciones de la cuartilla de partida. Se trata de una disposición estudiada, que revela una estrategia bien definida que, además, fue resuelta de forma impecable, con gran sentido práctico, de modo que se cumpliese la premisa, tan apreciada por el artista italiano, de que la simplicidad es la sofisticación definitiva.

La particular disposición de las figuras del círculo y el cuadrado responde, por tanto, a un orden que permite articular un conjunto de relaciones que constituyen una auténtica teoría de las proporciones, y no solo como una cuestión exclusivamente antropométrica. Basta un ejemplo. Como consecuencia de este orden, la razón de la posición del centro del ombligo en la cuartilla es coherente, como es lógico, con el formato del folio basado en la raíz cuadrada de 2, pero también es la misma que hay entre las figuras del círculo y el cuadrado, es decir, la clave que nos permite profundizar en la comprensión de la composición en su dimensión geométrica (Tabla 3).

 

Longitud

Valor

Distancia del ombligo al lado superior del folio

Razón

Área de trazado

340,00 mm

140,63 mm

2,42

 

Tabla 3. La razón de la posición del ombligo respecto al borde superior del folio es 1+√2 = 2,42.

 

Como se puede ver en la Tabla 3, la razón de la ubicación del ombligo respecto al borde superior del folio es de 340,00/140,63 = 2,417… ≈ (1+√2); que es la misma, solo que dividida entre 2, que se da entre el lado del cuadrado y el diámetro del círculo, esto es, 180,00/218,74 = 1,207… ≈ (1+√2)/2. El orden interno de la composición basado en la raíz cuadrada de 2 es el eje vertebrador de las relaciones que se establecen entre las geometrías de las figuras del círculo y el cuadrado (ver anexo II). La representación del canon de Leonardo se asemeja a un poliedro de múltiples caras donde cada una refleja, como si de un holograma se tratase, las propiedades del conjunto de relaciones del sistema de proporciones al que pertenece [3].

Si, por el contrario, consideramos que las correspondencias entre las figuras del círculo y el cuadrado y entre éstas y las proporciones del folio son debidas a la casualidad, el problema es aún mucho mayor, pues habría que demostrar un hecho insólito, y es que ¿cuántos trazados hubiera tenido que hacer Leonardo para, sin tan siquiera buscarlo, conseguir vincular todas las variables que intervienen en esta ecuación geométrica? A saber, en cuanto al continente, las proporciones del folio; y en cuanto al contenido, las dimensiones del cuadrado y del círculo y, lo que es más importante, la unión de ambos factores, es decir, la posición de los centros de las figuras en relación a la cuartilla de partida. Tendríamos en ese caso 98 probabilidades en contra de nuestros razonamientos en lugar de tan solo 2, tal y como se desprende del orden de error del trazado propuesto, incluso sin contemplar los márgenes del folio.

© Rafael Fuster Ruiz y Jordi Aguadé Torrell

 


 

[1] No somos los primeros en advertir que el ombligo no divide la altura del Hombre de Vitruvio en la sección áurea, sino en una razón muy próxima. Stephen Skinner escribe que «el círculo de Leonardo se ha trazado tomando como centro el ombligo, de acuerdo con la suposición de que este punto divide la altura de un hombre según la razón phi. Leonardo era un maravilloso observador y dibujó su hombre de Vitruvio tomando modelos reales, pero el resultado fue una razón de 1,656.» Stephen Skinner, Geometría Sagrada, ediciones Gaia, Madrid, 2007, p. 129. ISBN 978-84-8445-201-0. Luis Castaño también ha estudiado este aspecto de la composición del Hombre de Vitruvio de Leonardo da Vinci que se desprende de la cuadrícula de 24 palmas que permite refutar la teoría de que la posición del ombligo divide la altura en la sección áurea. En sus investigaciones, en cuanto a la refutación de la teoría de la sección áurea, llega a unas razones de 180/110 = 1,63…, 180/112,5 = 1,6; 180/109,8 = 1,639…, esta última relacionada con una unidad de 61 dedos = 109,8 mm. Luis Castaño, op. cit., Metrología Histórica: Una nueva propuesta, pp.5-10, pp. 35-36 (Figuras 8, 9, 10 11 y 12 Figura 12), op. cit., La cuestión del centro de la figura humana a partir del Homo Bene Figuratus de Vitruvio, pp. 7-9, y op. cit., Estudio sobre el Hombre de Vitruvio de Leonardo da Vinci, p. 9. (Figuras 16 y 17). Otro de los investigadores que se ocupa de esta cuestión es Carlos Piera quien, basándose en los trabajos de C. Calvimontes, desarrolla un trazado con el que llega a una razón entre las figuras del círculo y el cuadrado de 1,642, un cociente que tan sólo difiere en un 0,004% con el que llegamos mediante el trazado basado en las proporciones del folio, por lo que ambos métodos de trazado, aunque diferentes en su desarrollo, llegan a una aproximación prácticamente idéntica a las figuras dibujas por Leonardo. Para más información Carlos M. Piera, Leonardo da Vinci y la cuadratura humana, Madrid, 2002.

[2] Marco Vitruvio Polión, El origen de las medidas del Templo, Capítulo I del Libro Tercero.

[3] Es importante anotar que el cociente que se desprende de la relación entra las figuras del círculo y el cuadrado es de 5/3 = 1,667, si consideramos el lado del cuadrado dividido entre el radio del círculo, o bien de (1 + √2)/2 = 1,207… si tomamos el lado del cuadrado entre el diámetro.