Anexo 2. Cálculo gráfico de la circunferencia en función de la raíz cuadrada de 2

Del trazado de Leonardo basado en las proporciones del folio se desprende un cálculo gráfico de la circunferencia que supone una aproximación al número π que puede expresarse de la siguiente forma:

A partir de esta relación es posible llegar a un valor del número π de 3,1426… o, lo que es lo mismo, una aproximación a la relación entre el diámetro y el perímetro del círculo de un 99,96%. Una precisión más que suficiente para el propósito de Leonardo, pues el remanente inherente a la trascendencia del número π es tan minúsculo es despreciable ya que resulta imperceptible a simple vista, insignificante ante los inevitables errores de medida debidos, entre otros factores, al mismo grosor de la pluma empleada.

Desde esta perspectiva, para llegar a una aproximación al número π que permita dibujar con precisión el círculo en el cual se ha de inscribir el hombre del canon, el optar por una proporción del folio igual a la raíz cuadrada de 2 es la más idónea, aunque es un método que no está exento de alguna dificultad. No olvidemos que el punto de partida de la composición es el canon antropométrico de Vitruvio, y que las relaciones métricas están basadas en divisores enteros y múltiplos de 2 y 3. Pero, ¿cómo obtener la relación de 9/10 para luego llegar a una aproximación al número π sin la necesidad de añadir nuevos elementos al trazado que desvirtuarían el mensaje original?

El mayor problema reside en que para obtener una razón de 9/10 se necesita alguna operación que nos proporcione el número 5, requerido en el divisor de la proporción. Para ello, el genio italiano sorprende con su ingenio ya desde el primer movimiento del trazado, mediante el cual se obtiene el cuadrado en el que se inscribe el hombre del canon con los brazos en cruz y las piernas juntas. Como hemos visto, el citado cuadrado está en una proporción de 3/4 respecto a la anchura del folio. Para llegar a la proporción de 9/10 hay que multiplicar 3/4 por 6/5. Leonardo decidió que la ubicación del cuadrado en el folio sobrepasase el “cuadrado rector” en 1/6 parte de su longitud, de forma que quedasen 5/6 partes en su interior. Ya sabemos cómo emplear estas proporciones para hallar el diámetro del círculo en función de relaciones métricas.

En la siguiente imagen podemos ver una forma equivalente de calcular la longitud del radio del círculo, pero utilizando regla y compás (Figura 55).

 

Fig. 55. Cálculo del radio de la circunferencia a partir del cuadrado y la cuadrícula de 6 palmas [1].

 

Si trazamos la diagonal del rectángulo 5/3 hasta hacerla coincidir con la prolongación del lado superior del cuadrado, el segmento resultante desde este punto hasta el eje vertical del folio se corresponderá con el radio del círculo. Ahora bastaría con transportar esta medida para localizar el centro del círculo. Esta solución arroja un resultado excepcional para el cálculo gráfico de la circunferencia y, por lo tanto, del número π; aunque, como ya hemos indicado, el círculo resultante es algo más pequeño que el dibujado por Leonardo, por lo que no podemos afirmar con absoluta certeza que sea la solución correcta al enigma geométrico que nos planeta Leonardo.

En efecto, este resultado permite encontrar un nuevo método para localizar la posición del ombligo que, junto con la posición del cuadrado nos permitirá trazar el círculo. Para ello, buscaremos el punto que, situado sobre un segmento igual a la √2, lo divida en dos partes relacionadas entre sí por la √2. Siendo “a” y “b” las distancias a los bordes superior e inferior del folio respectivamente, para encontrar este punto hay que resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

Cuyas soluciones son:

La primera es interesante, pero para trazar el círculo hemos de salir del área de trazado. La segunda, por el contrario, nos proporciona una manera de hallar el centro del círculo mediante una sencilla operación geométrica dentro de los márgenes del área de trazado. Para ello partiremos de un nuevo “cuadrado rector”, aunque ahora situado en la parte superior del folio. La distancia del lado inferior de este “cuadrado rector” a la base del folio es:

Para multiplicarla por 2 basta con situar el compás sobre la base del nuevo “cuadrado rector” y con una abertura hasta el extremo opuesto de la base del folio trazar el círculo correspondiente. En la siguiente imagen se puede ver la operación para hallar el círculo en el que se inscribe el hombre del canon (Figura 56).

 

Fig. 56. Determinación del centro del círculo a partir del área de trazado y el “cuadrado rector”.

 

Una vez establecido el “cuadrado rector” en la parte superior del folio, basta con trazar un círculo cuyo centro está en la intersección del eje vertical con el lado inferior de este cuadrado. De esta forma obtenemos el centro del círculo. Ya solo queda dibujar el círculo en el que se inscribe el hombre del canon cuyo radio es la distancia al lado inferior del cuadrado que es igual a su altura.

Con este método obtenemos un círculo con un diámetro que es prácticamente igual al dibujado por Leonardo, tan solo inferior en 0,3 mm. Estableciendo un margen adecuado podemos llegar al mismo diámetro que el dibujado. En realidad, tan sólo deberíamos desplazar hacia arriba el margen inferior 0,3 mm, obteniendo un área de trazado que además mejora la precisión de una razón igual a la raíz cuadrada de 2.

 

© Rafael Fuster Ruiz y Jordi Aguadé Torrell


 

[1] Para más información sobre los orígenes y las medidas de la cuadrícula de 24 palmas del canon antropométrico de Vitruvio según Leonardo da Vinci se pueden consultar los trabajos de Luis Castaño Sánchez, op. cit., Metrología Histórica: Una nueva propuesta, p. 36 Figura 10, p. 12, Figura 12, op. cit., La cuestión del centro de la figura humana a partir del Homo Bene Figuratus de Vitruvio y op. cit., Estudio sobre el Hombre de Vi-truvio de Leonardo da Vinci, y también de Manuel Franco Taboada, op. cit., La cuestión del centro de la figura humana a partir del Homo Bene Figuratus de Vitruvio.